辽宁高考583分能上的最好的大学有9所，分别为：

1. 华南师范大学
2. 南京邮电大学
3. 南京林业大学
4. 南京信息工程大学
5. 南京审计大学
6. 南京医科大学
7. 南京中医药大学
8. 南京财经大学
9. 南京理工大学

辽宁高考586分能上的最好的大学有10所，分别为：

1. 苏州科技大学
2. 南京医科大学
3. 南京中医药大学
4. 南京审计大学
5. 南京晓庄学院
6. 南京师范大学
7. 江苏师范大学
8. 苏州大学
9. 南通大学
10. 扬州大学

以上是一些参考，具体还需根据实际招生情况为准。